Varians Til En Moving Average Prosess

Standardavvik og variasjon. Og det gode med standardavviket er at det er nyttig. Nå kan vi vise hvilke høyder som ligger innenfor en standardavvik 147mm av Mean. So, ved å bruke standardavviket har vi en standard måte å vite hva som er normalt , og hva er ekstra stor eller ekstra liten. Rottweilers er lange hunder og Dachshunds er litt korte, men ikke fortell dem. Men det er en liten endring med Sample Data. Our eksempel har vært for en befolkning de 5 hundene er de eneste hundene Vi er interessert i. Men hvis dataene er et eksempel et utvalg tatt fra en større befolkning, endrer beregningen. Når du har N dataværdier som er. Befolkningen deler med N når du beregner Varians som vi gjorde. En prøve deles av N-1 ved beregning av variasjon. Alle andre beregninger forblir de samme, inkludert hvordan vi har beregnet gjennomsnittet. Eksempel hvis våre 5 hunder er bare et utvalg av en større populasjon av hunder, deler vi med 4 i stedet for 5 som dette. Eksempelvariant 108.520 4 27,130. Eksempel Standar d Avvik 27,130 164 til nærmeste mm. Tenk på det som en korreksjon når dataene bare er et eksempel. Her er de to formlene, forklart ved standardavviksformler hvis du vil vite mer.2 1 Moving Average Models MA models. Time seriemodeller som kalles ARIMA-modeller kan omfatte autoregressive termer og eller bevegelige gjennomsnittsvilkår I uke 1 lærte vi et autoregressivt uttrykk i en tidsseriemodell for variabelen. xt er en forsinket verdi på xt. For eksempel er et lag 1 autoregressivt uttrykk x t -1 multiplisert med en koeffisient Denne leksjonen definerer glidende gjennomsnittlige termer. En glidende gjennomsnittlig term i en tidsseriemodell er en fortid feil multiplikert med en koeffisient. La oss oversette N 0, sigma 2w, noe som betyr at vekten er identisk, uavhengig distribuert, hver med en normal fordeling som har gjennomsnittlig 0 og samme varians. Den 1 st ordningsgjøre gjennomsnittlig modell, betegnet med MA 1 er. xt mu wt theta1w. Den 2. ordre flytte gjennomsnittlig modell, betegnet av MA 2 er. xt mu wt theta1w theta2.Den q ordreberegning av gjennomsnittlig modell, betegnet med MA q er. xt mu wt theta1w theta2w prikker thetaq. Note Mange lærebøker og programvare definerer modellen med negative tegn før betingelsene. Dette endrer ikke de generelle teoretiske egenskapene til modellen, selv om den ikke flipper de algebraiske tegnene på estimerte koeffisientverdier og ubetingede vilkår i formler for ACFer og avvik Du må sjekke programvaren din for å verifisere om negative eller positive tegn har blitt brukt for å skrive riktig estimert modell R bruker positive tegn i sin underliggende modell, slik vi gjør her. Theoretiske egenskaper av en tidsrekke med en MA 1-modell. Merk at den eneste ikke-nullverdien i teoretisk ACF er for lag 1 Alle andre autokorrelasjoner er 0 Således er en prøve-ACF med en signifikant autokorrelasjon bare ved lag 1 en indikator på en mulig MA 1-modell. For interesserte studenter, Bevis på disse egenskapene er et vedlegg til denne utleveringen. Eksempel 1 Anta at en MA 1-modell er xt 10 wt 7 w t-1 hvor overskuddet N 0,1 Altså koeffisienten 1 0 7 Th e teoretisk ACF er gitt av. Et plott av denne ACF følger. Plottet som nettopp er vist er den teoretiske ACF for en MA 1 med 1 0 7 I praksis fikk en prøve t vanligvis et slikt klart mønster. Ved hjelp av R simulerte vi n 100 Eksempelverdier ved bruk av modellen xt 10 wt 7 w t-1 hvor w t. iid N 0,1 For denne simuleringen følger en tidsserier av prøvedataene. Vi kan ikke fortelle mye fra denne plottet. Prøven ACF for den simulerte data følger Vi ser en spike i lag 1 etterfulgt av generelt ikke signifikante verdier for lags fortid 1 Merk at prøven ACF ikke samsvarer med det teoretiske mønsteret til den underliggende MA 1, som er at alle autokorrelasjoner for lags forbi 1 vil være 0 A forskjellig prøve ville ha en litt annen prøve-ACF som vist nedenfor, men vil trolig ha de samme brede funksjonene. Deoretiske egenskaper av en tidsrekkefølge med en MA 2-modell. For MA 2-modellen er teoretiske egenskaper følgende. Merk at den eneste ikke-null Verdiene i teoretisk ACF er for lags 1 og 2 Autocorrelat ioner for høyere lags er 0 Så, en prøve-ACF med signifikante autokorrelasjoner ved lags 1 og 2, men ikke-signifikante autokorrelasjoner for høyere lags indikerer en mulig MA 2-modell. Nid koeffisientene er 1 0 5 og 2 0 3 Fordi dette er en MA 2, vil den teoretiske ACF ha null nullverdier bare ved lags 1 og 2.Values ​​av de to ikke-autokorrelasjonene er. En plot av den teoretiske ACF følger. Som nesten alltid er tilfellet, vil prøvedata vunnet t oppføre seg ganske så perfekt som teori Vi simulerte n 150 utvalgsverdier for modellen xt 10 wt 5 w t-1 3 w t-2 hvor w t. iid N 0,1 Tidsseriens plott av dataene følger Som med tidsseriens plott for MA1-prøvedataene, kan du ikke fortelle mye av det. Prøven ACF for de simulerte dataene følger Mønsteret er typisk for situasjoner der en MA 2-modell kan være nyttig. Det er to statistisk signifikante pigger på lags 1 og 2 etterfulgt av ikke - - sviktige verdier for andre lag. Merk at på grunn av prøvetakingsfeil ikke samsvarte ACF det teoretiske mønsteret nøyaktig. ACF for General MA q Models. A egenskapen til MA q - modeller generelt er at det er ikke-null autokorrelasjoner for de første q lags og autocorrelations 0 for alle lags q. Non-uniqueness av forbindelse mellom verdier på 1 og rho1 i MA 1-modell. I MA 1-modellen, for en verdi på 1, gir den gjensidige 1 1 samme verdi. For eksempel, bruk 0 5 for 1 og bruk deretter 1 0 5 2 for 1 Du får rho1 0 4 i begge tilfeller. For å tilfredsstille en teoretisk begrensning som kalles invertibilitet begrenser vi MA 1-modeller til å ha verdier med absolutt verdi mindre enn 1 I eksemplet som er gitt, vil 1 0 5 være en tillatelig parameterverdi, mens 1 1 0 5 2 ikke vil. Invertibility av MA modeller. En MA-modell sies å være invertibel hvis den er algebraisk tilsvarer en konvergerende uendelig rekkefølge AR-modell. Ved konvertering mener vi at AR-koeffisientene reduseres til 0 når vi beveger oss tilbake i tiden. Invertibility er en begrensning programmert inn i tidsserier programvare som brukes til å estimere coeff ICE-modeller med MA-vilkår Det er ikke noe vi ser etter i dataanalysen. Ytterligere informasjon om inverterbarhetsbegrensningen for MA 1-modeller er gitt i vedlegget. Avansert teoretisk merknad For en MA q-modell med en spesifisert ACF, er det bare en inverterbar modell Den nødvendige betingelsen for inverterbarhet er at koeffisientene har verdier slik at ligningen 1- 1 y - qyq 0 har løsninger for y som faller utenfor enhetens sirkel. R Kode for eksemplene. I eksempel 1 plottet vi teoretisk ACF av modellen xt 10 wt 7w t-1 og deretter simulert n 150 verdier fra denne modellen og plottet prøve tidsseriene og prøven ACF for de simulerte data R-kommandoene som ble brukt til å plotte den teoretiske ACF var. acfma1 ARMAacf ma c 0 7, 10 lags av ACF for MA 1 med theta1 0 7 lags 0 10 skaper en variabel som heter lags som varierer fra 0 til 10 plot lags, acfma1, xlim c 1,10, ylab r, type h, hoved ACF for MA 1 med theta1 0 7 abline h 0 legger en horisontal akse til plottet. Th e første kommandoen bestemmer ACFen og lagrer den i en gjenstand som heter acfma1 vårt valg av navn. Plot-kommandoen 3. kommando-plottene lags mot ACF-verdiene for lags 1 til 10 ylab-parameteren merker y-aksen og hovedparameteren setter en tittel på plottet. For å se de numeriske verdiene til ACF, bruk bare kommandoen acfma1. Simuleringen og plottene ble gjort med følgende kommandoer. liste ma c 0 7 Simulerer n 150 verdier fra MA 1 x xc 10 legger til 10 for å lage gjennomsnitt 10 Simuleringsstandarder betyr 0 plot x, type b, hoved Simulert MA 1 data acf x, xlim c 1,10, hoved ACF for simulert prøve-data. I eksempel 2 skisserte vi den teoretiske ACF av modellen xt 10 wt 5 w t-1 3 w t-2 og simulerte deretter n 150 verdier fra denne modellen og plottet prøve tidsserien og prøven ACF for den simulerte data R-kommandoene som ble brukt var. acfma2 ARMAacf ma c 0 5,0 3, acfma2 lags 0 10 plot lags, acfma2, xlim c 1,10, ylab r, type h, hoved ACF for MA 2 med theta1 0 5, theta2 0 3 abline h 0 liste ma c 0 5, 0 3 x xc 10 plot x, type b, hoved Simulert MA 2-serie acf x, xlim c 1,10, hoved ACF for simulert MA 2 Data. Appendix Bevis på egenskaper til MA 1.For interesserte studenter, her er det bevis på teoretiske egenskaper til MA 1-modellen. Varianttekst xt tekst mu wt theta1 w 0 tekst wt tekst theta1w sigma 2w theta 21 sigma 2w 1 theta 21 sigma 2When h 1 er det forrige uttrykket 1 w 2 For noen h 2 , forrige uttrykk 0 Årsaken er at ved definisjon av uavhengighet av Wt E wkwj 0 for noen kj Videre, fordi wt har betyde 0, E wjwj E wj 2 w 2.For en tidsserie. Bruk dette resultatet for å få ACF gitt ovenfor. En inverterbar MA-modell er en som kan skrives som en uendelig rekkefølge AR-modell som konvergerer slik at AR-koeffisientene konvergerer til 0 mens vi beveger oss uendelig tilbake i tid. Vi skal demonstrere inverterbarhet for MA 1-modellen. substituttforhold 2 for w t-1 i ligning 1. 3 zt wt theta1 z - theta1w wt theta1z - theta 2w. At tiden t-2 ligning 2 blir. Vi erstatter deretter forhold 4 for w t-2 i ligning 3. zt wt theta1 z - theta 21w wt theta1z - theta 21 z - theta1w wt theta1z - theta1 2z theta 31.If vi skulle fortsette uendelig, ville vi få den uendelige rekkefølgen AR - modellen. Zt wt theta1 z - theta 21z theta 31z - theta 41z prikker. Merk at hvis 1 1, vil koeffisientene som multipliserer lagene av z, øke uendelig i størrelse når vi beveger seg tilbake i tid. For å forhindre dette, trenger vi 1 1 Dette er betingelsen for en inverterbar MA 1 modell. Infinite Order MA modell. I uke 3 ser vi at en AR 1-modell kan konverteres til en uendelig rekkefølge MA-modell. xt - mu wt phi1w phi 21w prikker phi k1 w prikker sum phi j1w. Denne summeringen av tidligere hvite støybetingelser er kjent som en årsakssammenstilling av en AR 1 Med andre ord er xt en spesiell type MA med et uendelig antall termer går tilbake i tid Dette kalles en uendelig ordre MA eller MA En endelig ordre MA er en uendelig orden AR og en hvilken som helst endelig ordre AR er en uendelig ordre MA. Recall i uke 1, bemerket vi at et krav til en stasjonær AR 1 er at 1 1 La oss beregne Var xt ved hjelp av årsakssammensetningen. Dette siste trinnet bruker et grunnleggende faktum om geometriske serier som krever phi1 1 ellers vil serien avvike. Spørringen jeg har knyttet til beregning av variansen av AR 1-prosesser som glattes med en enkel glidende gjennomsnitt So. I en AR 1-prosess av skjemaet kan variansen beregnes som. der sigma er standardavviket til varepsilon en hvit støy, og varphi er variabelen som definerer autokorrelasjonsegenskapene til AR 1-prosessen. Jeg ville liker å kunne beregne variansen av AR 1-prosessen etter utjevning ved et enkelt uvevet glidende gjennomsnitt for forskjellige vindustørrelser har jeg hittil sett på problemet analytisk med data, og da vindusstørrelsen på det bevegelige gjennomsnittet øker variansen faller åpenbart, og måten i som det faller, dvs. hastighet og form er avhengig av varphi. Når det bevegelige gjennomsnittlige vinduet er lik N, størrelsen på datasettet analyseres, er variansen 0. Det er derfor en måte å bestemme den forventede variansen av AR 1 i form av varphi, N og størrelsen på det bevegelige gjennomsnittlige vinduet. Enhver pekere mottok takknemlig. skrevet 31. august 13 kl 7 12. Takk, jeg antar at jeg kanskje mangler noe, men kodesligningen for MAvar synes ikke å matche avledet Var ligning ovenfor Kan du gi mer informasjon om hvordan den endelige ligningen er ankommet Også, gitt at når glidende gjennomsnittsvindu er lik N må varen være null, må ikke ligningen uttrykkes som N user29771 Sep 1 13 ved 8 11. swisslog, jeg endret bare rekkefølgen av noen termer i MAvar sammenlignet med den siste ligningen, så de burde være de samme jeg har lagt til to linjer til derivasjonen, resten er et par geometriske summer og forenklinger Nå om N er saken at vi ser på en teoretisk varians, ikke empirisk, og siden teorien denne glatte AR-prosessen aldri slutter, må den teoretiske variansen ikke være null, så vel som det ikke avhenger av N Julius Sep 1 13 på 10 23. En annen måte å gjøre er å beregne direkte ved hjelp av egenskapene til auto-covariances som er gamma k rho gamma 0, hvor gamma 0 sigma 1 - rho er variansen. Så er gjennomsnittet for K perioder er gitt ved begynnelsen tilde x frac1K sumgrenser x end Den gjennomsnittlige gjennomsnitt er matte E tilde x frac1K sum grenser mathbb E x mu og betegner hat xx - mu for å simplify notation Variansen er gitt ved begynnelsen V tilde x mathbb E venstre venstre frac1K sum grenser x - tfrac mu høyre høyre frac1 mathbb E venstre venstre su m grenser x - mu høyre høyre frac1 mathbb E venstre venstre sum grenser lue x høyre høyre ende Denne firkantede matrisen av N ganger N elementer med ij elementet som er lue x hat x kan skrives med hensyn til dens diagonale og to ganger den øvre triangulære matrisen som øvre og nedre halvdeler er symmetriske begynner V tilde x frac1 mathbb E venstre sumgrenser hatt x sumgrenser sumgrenser 2 hatt x hat x høyre frac1 mathbb E venstre sumgrenser gamma 0 2 sumgrenser sumgrenser gamma ji høyre ende som med en omarrangering av summen i siste sikt fra sumgrenser sumgrenser gamma ji til sumgrenser sumgrenser gamma j og tilbakekalling av at gamma k rho gamma 0 da begynner sumgrenser sumgrenser gamma j gamma 0 sumgrenser sumgrenser rho ende Nå er geometriske sum sum grenser rho rho rho ldots rho kan forenkles til sum grenser rho tfrac som etterlater deg med begynnelse sum grenser sum grenser gamma j frac sum grenser 1 - rho ende Og slutt summen kan forenkles som følger begynne sum grenser 1- rho 1 - rho 1 - rho ldots 1 - rho K-1 - rho ldots rho K-1 - venstre frac høyre ende Kombinere sammen igjen, vi begynner V tilde x frac1 mathbb E venstre sumgrenser gamma 0 2 sumgrenser sumgrenser gamma j høyre frac1 venstre K gamma 0 2 frac venstre K-1 - venstre frak høyre høyre høyre ende eller etter noen algebra fotnote frac venstre K 2 frac venstre K-1 - venstre frak høyre høyre høyre frac 1 - rho venstre K 1 r 2 rho K-1 - venstre frak 1 rho høyre til høyre frac 1 - vr venstre 1 rm - 2 vr - vrang fra 1 til høyre vrang fra 1 - vr venstre 1 r vr 1 vr - 2 vr 1 - vr - 2 vr 1 vr rett fra v 1 - vrang 1 vr venstre vr 1 - r 2 - 1 v r høyre vend begynn V vr x frac 1 - vr 1- vr venstre vr 1 r 2 rho 1 rh høyre ende. Ved å bruke Julius s metode ovenfor får jeg akkurat det samme svaret som dette som vel, håper det hjelper. ansvaret 9 september 13 kl 17 09.